孪生素数猜想(最大的质数真的存在吗)
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2023-11-19
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1. 孪生素数猜想,最大的质数真的存在吗?
质数一直受数学家的关注与探索。在2000多年前,人们就在思考到底有没有最大的素数?素数有多少个?
一、什么是素数
质数又称素数。一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数。
二、素数寻找算法
灯泡是由1000以内的素数构成!1000以内素数共有168个,它们分别是:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,641,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,787,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,929,937,941,947,953,967,971,977,983,991,997
那么如何寻找素数呢?
在公元前2世纪希腊数学家埃拉托斯特尼(Eratosthenes),就已经提出了一个非常简单而且有效的素数筛法,我们称之为埃拉托斯特尼筛法(Sieve of Eratosthenes)。核心是:要得到自然数n以内的全部素数,必须把不大于根号n的所有素数的倍数剔除,剩下的就是素数。
一个埃拉托斯特尼筛法的例子
三、梅森素数
素数当中,有一类素数非常特别,形如2的p次方减1,17世纪法国数学家马林·梅森对它进行了深入研究。梅森(Marin Mersenne)是一位法国神学家兼数学家,他在17世纪早期曾对这类数字展开过研究。为了纪念梅森的贡献,学界把这种数称之为梅森数,如果梅森数为素数,则称之为梅森素数。
梅森素数是指那些可以被表示为2ⁿ-1的数,其中“n”为整数。它们以马林·梅森的名字来命名。
举例来说,3就是梅森素数,它可以记成2ⁿ-1的形式,即2²-1。不过,并不是所有能够以这种形式表达的整数都是素数。譬如当n=4时,所得结果为2^4 -1=15,15不是素数,因为它可以被3和5整除。
2017年12月26日,数学界发生一件大事,美国一位普通的电气工程师Jonathan Pace,在他成为GIMPS计划志愿者的第14个年头,找到第50个梅森素数,即2的77232917 次方减1,这是目前为止人类发现的最大素数,共计23249425位。
(2018年12月7日在美国佛罗里达州,一个叫PatrickLaroche的志愿者发现了迄今为止我们能找到的最大质数——2^82,589,933-1,有24,862,048位)
2017年日本出版了一本畅销书《2017最大的质数》,整本书只有写一个数字“2的74207281次方减1”,光一个质数就印了719页,足有2233万位数,你可以想象一下,这数到底有多么大。更莫名其妙的是,这本书居然卖得极好,就连出版商的吓了一跳。
这么大的天文数字,究竟是花多少时间算出来的?而下一个数字又何时会出现?这可能是我们看到新闻的疑问,但相信人们更好奇的是,人类为何要一直用超强电脑找“最大质数”,就算找到了又有甚么意义,是吃饱太撑吗?难不成每年都要出一本《最大的质数》?
俗话说“数学为科学之母”,人类研究数学的行为本身,起初都没有目的性,纯粹只是为求真理,但这些看似没有用的理论与计算,很有可能在未来成为人类文化的重要科学工具。17世纪牛顿、莱布尼兹发明微积分时,相信也没甚么人觉得有用,但如今积分的数学原理,却奠定了现今工程学的所有基础,路上的桥墩与路面,都是千千万万的数学所构成。
但这些都不足以解释为何人们要不断找“更大的质数”,这些跟我们的生活有相关吗?
事实上是有的,但就现阶段来说,与“数学难题”有比较大的关系。近期学术界最大的新闻,便是在9月24日,英国麦可·阿蒂亚爵士宣称他破解了“黎曼猜想”,这是个数学界159年以来未解的谜题,美国克雷数学研究所在2001年甚至不惜端出100万美元奖金,来给解决这个难题的人。
由于数学的部分实在太难了,简单来说,黎曼是个超级数学天才,他生平前找到了一个跟质数表达形式有密切关系的公式,只是他无法证明这是否正确。
为了解决这个名誉与奖金,无数的数学家投身进入研究,但也都无法证明它,既然无法证明它是对的,那我只要找到反例就行了,于是无数的科学家开始使用电脑与大型计算机,不断算出新的质数来验证“黎曼猜想”,也就是说,这些每年找“最大质数”的閒事,其实是科学发展上非常重要的一环。
2001年IBM甚至开启了科学项目“ZetaGreat”大型计算机,计算了1兆个数字,发现全部都符合黎曼的预测,也就是说,黎曼猜想是对的,但没有人可以证明,只能无限地运算更大的数字来推翻。
四、素数有无限个的证明
素数是无限的还是有限的?两千年前的古希腊数学家欧几里得证明了这个问题,被认为是经典之作。以后又出现十几种证明方法。例如欧拉的证明。他是如何证明的呢?
证明:假设素数没有无限个.设它们为P1.P2.P3.P4.……Pn.设素数集合为S,
不妨再设实数a=P1*P2*P3*P4*……*Pn+1,则a不属于S,因此a为合数,且a不能被任何素数整除。又由于合数a必然能分解出质因子,设其为p,则p必然为素数,且p能整除a。这与a不能被任何素数整除矛盾。所以假设不成立,素数有无限个。
五、相关猜想
哥德巴赫猜想:是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和?
孪生素数猜想:孪生素数就是差为2的素数对,例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数?
黎曼猜想:关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想,由数学家波恩哈德·黎曼(1826~1866)于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题。其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出:黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点(在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值)的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti(“临界线”(critical line))上。t为一实数,而i为虚数的基本单位。
最后的最后,都翻到这么后面了,再奖励你一个知识点!
(狄利克雷定理:对于任意互质的正整数a,b, 有无数个形如an + b的质数。其中n是正整数)
参考文献:
Aran Young, VOA数学,存在最大的素数么?欧几里得告诉你答案
2. 数学中还有多少猜想或定理没有被证明?
创维的数轴猜想:从0开始,数字在垂直两条轴线上的无限延伸,归集了所有代数理论。
此猜想要是能被证明,则数学上的代数问题全部解开(其中就包括哥德巴赫猜想等等,一切数学代数猜想及一切数学代数理论)。
《易经》告诉我们,宇宙原理就是数字原理,数字产生,宇宙才产生,数字无穷大,宇宙无穷大,人类解开了数学原理,也就解开了宇宙原理,至此,科学发展到了高峰。
大道至简,然人类无法知其简。还要很长时间才能攻克。
但实际上,人类科学尚在发展中,所有科学理沦,在茫茫无穷的宇宙中,真算不了什么,估计人类再发展上万年,也不能将科学完善
3. 如何评价张益唐在孪生素数猜想上的研究成果及意义?
最近,《自然》杂志的网站上刊登了一篇文章,在华人数学爱好者和学者之间产生了轰动。该文章的标题是《第一个无穷组素数成对出现的证明》。
“孪生素数猜想”是什么?
这篇文章为何会引起轰动呢?这要从“孪生素数猜想”说起。众所周知,素数是只含有两个因子的自然数(即只能被自身和1整除)。而“孪生素数”是指两个相差为2的素数,例如3和5,17和19等。孪生素数猜想是说,存在无穷对孪生素数。
孪生素数的问题已经有约200年的历史。在1900年的国际数学家大会上,希尔伯特将孪生素数猜想列入了他那著名的23个数学问题。想了解这个问题的奇妙之处,需要大概了解素数的分布规律。2000多年前,古希腊数学家欧几里德最先证明了素数在自然数中有无穷多个。这个证明是数学爱好者都很熟悉的,英国数学家哈代在他的《一个数学家的辨白》中也对这个证明津津乐道(如果有人没有读过的,推荐一读)。
随着数学慢慢发展,人们渐渐意识到素数在自然数的分布具有一定的规律。随着数量级的增大,素数的密度越来越小。例如,100以内有25个素数(25%),而100万以内的素数只有7.85%。尽管素数的分布越来越稀疏,但其稀疏程度却是可以度量的。例如,人们发现素数的倒数和为无穷,这就意味着素数的分布比完全平方数要稠密。在法国数学家勒让德和德国数学家高斯等人的推动下,人们开始猜测素数的分布律接近x/ln(x),即前x个整数中大约有x/ln(x)个素数。这一结果于1896年被两位数学家各自证明,此时距离勒让德的猜想提出已经有98年。
素数的分布律说明,素数在自然数中越来越稀疏,同时素数之间的距离——平均而言——会越来越远。因此,孪生素数猜想也就显得很越发奇妙——如果素数之间的距离真的越来越远,那么出现无穷对距离为2的素数就不是那么显然的事了。这似乎说明素数的分布是相当“随机”的,而不是近似均匀的扩散。可能学概率论的读者会注意到,这一结论与概率论中“随时间推移,一维标准布朗运动的位置平均而言离0点越来越远,但却以概率1无穷次折回0点”有着异曲同工之妙。的确,素数的分布律与随机过程非常相似。然而,更为奇妙的是,素数的位置是完全是确定的,其本质上毫无随机性。
张益唐做了什么工作?
终于可以讲到今天的新闻了。新罕布什尔大学(University of New Hampshire,UNH)任教的张益唐近日声称,其证明了存在无穷多对素数,其差小于7000万。尽管7000万是个很大的数字,但如果结果成立,就是第一次有人正式证明存在无穷多组间距小于定值的素数对。想想我们之前讲的,就会发现,既然素数之间的平均距离越来越远,那么存在无穷多组间距小于定值的素数对,与存在无穷多组间距为2的素数对(孪生素数猜想)是一样神奇的结论。值得一提,如果存在无穷多组间距小于定值的素数,那么,通过取子序列的办法,我们可以得知至少存在一个数字C(小于7000万),使得无穷多组素数之间的间距恰巧为C。无怪乎,美国数学家多利安·戈德菲尔( Dorian Goldfeld)评论说,从7000万到2的距离(指猜想中尚未完成的工作)相比于从无穷到7000万的距离(指张益唐的工作)来说是微不足道的。
如果张益唐的结果为正确的,那无疑是世界数学界的一大进展,其结果影响力甚至可能超过陈景润在哥德巴赫猜想方面所做的工作。
根据我一位朋友介绍,张益唐就读于北大数学78级,是当时最优秀的几个学生之一,因此也算上是我的师兄。网上关于张益唐的信息很少,只能查到他在UNH担任讲师(Lecturer)。这里,稍微讲解一下美国的学术体系。美国学术界的核心是终身教职系统(Tenure-Track),分为助理教授(Assistant Professor), 副教授(Associate Professor)和教授(Professor)三个级别。这些教授职位就是传统意义的学者,既进行教学活动,也进行科研(如果是研究型大学的话,是科研为主)。一旦获得终身教职(通常是在升到副教授时,少部分学校是到正教授时,也有部分是助理教授期间),这些教授就可以做任何自己想做的科研,即使没有经费,科研没有进展,甚至不再科研,学校无正当理由(如渎职、犯罪等)也不能开除他们。因此,终身教职是学术界的核心精神,绝大多数数学家(除了在研究所工作的外)都会进入终身教职系统。
而讲师就差多了,是临时教学职位,收入比起同资历教授(包括助理教授)差很多,教学任务也远远比教授们重。科研上来说,则是完全得不到任何支持。例如我所在的学校,讲师往往由不具有博士学位的教师来担任,教学任务是普通终身教职系统内教员的2-3倍。注意,美国的讲师和英国的讲师是不同的,后者是等价于终身教职系统内职位的。无论如何,张益唐的职位都不是一个数学家理想的职位,可以说他是在讲师的位置上蛰伏了多年。引用香港浸会大学汤老师的说法,“(张益唐老师)从没有正式工作,(人们)以为(他)离开数学界了”。数十年磨一剑,终于发表了惊人的成果。
现代数学的新结果的验证往往需要很长的时间。因为所使用的新技巧,所涉及的专业知识往往都过于高深,以至于全世界只有一两位专家可以看懂。而证明又可能很长,有时竟长达上千页,很多数学家要慢慢挤出时间来看他人的证明。即使发表在顶级数学杂志的结果,也可能时候发现有错。因此,包括我本人在内,许多人也在怀疑张益唐的结果是否正确。在这里,我只简单地将事实列出,留给数学界来评判。
对张益唐的结果不利的事实有:
张益唐来自一所并非以数学闻名的大学,而且是临时职位,且多年以来并无突出建树。在数学界,由无名之辈解决世界难题虽然并非绝无发生,但现代以来已经几乎绝迹。
据张益唐在哈佛的报告的反响来看,他使用的数学技巧不具备革新性,是较为经典的数学技巧。新的突破由经典技巧完成在数学史上是非常罕见的。(这也是为什么只学习了初等数学的民间数学家们往往无法解决数学难题)。
所得出结论过于具有突破性,其他数学家似乎都没有办法做到。
对张益唐的结果有利的事实有:
他将文章投到《数学年刊》(Annals of Mathematics),从新闻来看,已准备接收。审稿人的评价非常积极,认为其证明是对的,并且是一流的数学工作。Annals是世界上最权威的数学杂志,即使考虑平行地位,也远远大于《自然》(Nature)、《科学》(Science)这些杂志。在Annals上发表数学文章极难,往往都是顶尖数学家才能做到。北京大学的教授发表一篇Annals,都要在数学学院的网站上写个新闻报道一番,可见其难度。考虑到张益唐并不是成名的数学家,审稿人想必是在非常详细的审阅之后才得出的结论。
新闻提到,其他看过论文和听过报告的专家,没有人找到明显的错误(尽管有些人仍然存有怀疑),并且认为其证明思路可以看懂。
北大校友传言张益唐在北大读书期间非常突出,而77、78级由于之前的文革影响,最顶尖人才都汇聚在一起,因此如果张老师读书期间非常突出,那么至少说明他的数学潜力是没有问题的(远非所谓民间科学家所能比)。
根据华人数学家陶哲轩的博客,尽管由于他本人没有看到文章,仍无法下断言,但他对该结果的评价比较正面,并且他推测张益唐的工作是在其他几位科学家的基础上进行的合理推广。
根据另一名华人数学家转述,张益唐之前虽然没发表过几篇文章,但其有一篇关于黎曼猜想的文章发表在另一数学界高端杂志《Duke数学杂志》上,并得到审稿人很高的评价。这说明,张益唐是具有研究前沿数学问题的知识储备的。
此外,这里有一个关于张老师前几天在哈佛所做之报告的技术总结,将其基本思路整理了一下,有兴趣的朋友可以自行阅读(英文版):Bounded Gaps Between Primes
4. 张益唐和丘成桐谁厉害?
张益唐厉害他解决了孪生素数的猜想,一时间获誉无数,在国际上拿奖拿到手软!
但张益唐的成名之路却非常坎坷,张益唐从北大毕业之后前往了美国留学,期间由于和导师争论导致了隔阂。
5. 数学家为何会痴迷于研究质数呢?
本题,我一个小屁孩,也断断续续琢磨了几十年了。更不用说数学家痴迷了几千年。以下是我的一些习得与直觉,算是抛砖引玉。
其一,顾名思义:prime=pro(主要)+ime(要素),字面意义:主体性要素。引申为:不可分割的基数。
其二,数学定义:质数是只能被“单位1”与“自身数”整除的数。由定义可知:
质数皆可分解为最小的单位1,而1意味着归一到无法再分的基元。如:2=1+1,3=1+1+1,5=1+1+1+1+1。
质数自身亦可以整体性出现,不可分解为非基元的其它任何数。5≠2+3,11≠2+3+3+3。
其三,粒子意义:就特定的认知层次,质数对应1个完整的系统/体系/物系(system)。例如:1个原子,1个电子,1个质子,1个光子,1个中微子,1个引力子或1个虚粒子,即1个真空涟漪子。
其四,物理哲学:色空亦空,色是形形色色的有形物质,呈椭球状,是费米子。空是隐隐约约的无形物质,呈波带状,是玻色子。
费米子是高能态的玻色子,玻色子是低能态的费米子。最低能态的或基态玻色子,叫基态虚粒子,或基态真空涟漪子,其实就是引力子。
真空涟漪子,可定义其质量是1.26e-39kg,是自然界的最小量子“1”。可以看成物质的最小基元。
中微子与上夸克(u),是较大的真空涟漪簇,有1595819个真空涟漪子,这是一个质数。特此声明:这是高人的,不是我的。
电子与质子与质数不对应,它们相当于不同能态的400个中微子或上夸克。中子也不对应质数,因为中子=质子+电子+中微子。因此,非中微子的费米子,皆对应一个合数。
引力子,就是1个基态虚粒子。光子,是低能态的伸展的电子,与电子一样有400u个真空涟漪子,但不同频率的光子,对应不同能态的真空涟漪簇。
在超低温与超真空的深太空,所有费米子与玻色子,皆完全耗散,化为真空涟漪。这相当于:色变空,四大皆空,万象归零。
在特定的高温高压条件下,大量真空涟漪为簇拥、集聚、折叠、缠绕、卷积,变成不同能态的具有一定稳态的费米子与玻色子。这相当于:空变色,无中生有,无极生太极。
其五,社会哲学:国家是一个整体,对应一个较大的合数。家庭是一个整体,对应一个最小的质数。个人是一个整体,对应一个基元质数,不可再行分割了。
通过对本题的探讨,禁不住想起,毕达哥拉斯为什么说数揭示世界的本质的蕴含。也进一步体会“自然数”的自然意义,而小数部分只不过反映了物理测量的精度,而已。
6. 世界数学难题未解之谜?
1、黎曼猜想这个可以说是数学中最重要的猜想之一,黎曼猜想研究的是素数分布问题,而素数是一切数字的基础,假如人类掌握了素数分布的规律,那么能轻松解决很多知名的数学难题。
2、N-S方程的解
纳维-斯托克斯方程是否有解析解?
该方程描述的是粘性流体流动问题,本身是一个偏微分方程,其解极其复杂,目前只能在一定范围内求数值解,至于解析解,是否存在都不知道!
3、P-NP问题
该问题在数学中极为重要,涉及计算机算法中的最优解的存在性问题。
4、ABC猜想:若d是abc不同素因数的乘积,d通常不会比c小太多?
5、哥德巴赫猜想:即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和?
6、孪生素数猜想:存在无穷多个素数p,使得p + 2是素数?
7、冰雹猜想:任意一个自然数,如果是个奇数,则下一步变成3N+1,如果是个偶数,则下一步变成N/2,最终都能回到1?
8、大数分解问题:对于任意大数,分解为素数乘积的最佳算法?
9、丢番图问题:整数方程的可解性判断?
10、哥德尔不完备性定理的边界:如何判断一个数学难题,是否属于数学哥德尔不完备性问题?
11、无理数问题:无理数和超越数如何判断?
12、梅森素数问题:梅森素数是否有限?
7. 大学最难的数学题?
1.几何尺规作图问题 大四最难的数学题 这里所说的“几何尺规作图问题”是指做图限制只能用直尺、圆规,而这里的直尺是指 没有刻度只能画直线的尺。“几何尺规作图问题”包括以下四个问题 (1)化圆为方——求作一正方形使其面积等於一已知圆; (2)三等分任意角; (3)倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍; (4)做正十七边形。 以上四个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解,而实际上这前三大问题都已证明不 可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。
第四个问题是高斯用代数的方法解决的,他也视此为 生平得意之作,还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上,但後来他的墓碑上并没有刻上十七 边形,而是十七角星,因为负责刻碑的雕刻家认为,正十七边形和圆太像了,大家一定分辨 不出来。
2.蜂窝猜想 四世纪古希腊数学家佩波斯提出,蜂窝的优美形状,是自然界最有效劳动的代表。他猜想, 人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝,是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。他的这一猜想称 为蜂窝猜想,但这一猜想一直没有人能证明。1943 年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首 尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。
1943 年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所 有首尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。但如果多边形的边是曲线时,会发生什 么情况呢?陶斯认为,正六边形与其他任何形状的图形相比,它的周长最小,但他不能证明这一 点。而黑尔在考虑了周边是曲线时,无论是曲线向外突,还是向内凹,都证明了由许多正六边形 组成的图形周长最校他已将 19 页的证明过程放在因特网上,许多专家都已看到了这一证明, 认为黑尔的证明是正确的。
3.孪生素数猜想 1849 年,波林那克提出孪生素生猜想(the conjecture of twin primes),即猜测存在无穷 多对孪生素数。孪生素数即相差 2 的一对素数。例如 3 和 5 ,5 和 7,11 和 13,…,10016957 和 10016959 等等都是孪生素数。1966 年,中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果:存 在无穷多个素数 p,使 p+2 是不超过两个素数之积。孪生素数猜想至今仍未解决,但一般人 都认为是正确的。
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1. 孪生素数猜想,最大的质数真的存在吗?
质数一直受数学家的关注与探索。在2000多年前,人们就在思考到底有没有最大的素数?素数有多少个?
一、什么是素数
质数又称素数。一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数。
二、素数寻找算法
灯泡是由1000以内的素数构成!1000以内素数共有168个,它们分别是:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,641,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,787,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,929,937,941,947,953,967,971,977,983,991,997
那么如何寻找素数呢?
在公元前2世纪希腊数学家埃拉托斯特尼(Eratosthenes),就已经提出了一个非常简单而且有效的素数筛法,我们称之为埃拉托斯特尼筛法(Sieve of Eratosthenes)。核心是:要得到自然数n以内的全部素数,必须把不大于根号n的所有素数的倍数剔除,剩下的就是素数。
一个埃拉托斯特尼筛法的例子
三、梅森素数
素数当中,有一类素数非常特别,形如2的p次方减1,17世纪法国数学家马林·梅森对它进行了深入研究。梅森(Marin Mersenne)是一位法国神学家兼数学家,他在17世纪早期曾对这类数字展开过研究。为了纪念梅森的贡献,学界把这种数称之为梅森数,如果梅森数为素数,则称之为梅森素数。
梅森素数是指那些可以被表示为2ⁿ-1的数,其中“n”为整数。它们以马林·梅森的名字来命名。
举例来说,3就是梅森素数,它可以记成2ⁿ-1的形式,即2²-1。不过,并不是所有能够以这种形式表达的整数都是素数。譬如当n=4时,所得结果为2^4 -1=15,15不是素数,因为它可以被3和5整除。
2017年12月26日,数学界发生一件大事,美国一位普通的电气工程师Jonathan Pace,在他成为GIMPS计划志愿者的第14个年头,找到第50个梅森素数,即2的77232917 次方减1,这是目前为止人类发现的最大素数,共计23249425位。
(2018年12月7日在美国佛罗里达州,一个叫PatrickLaroche的志愿者发现了迄今为止我们能找到的最大质数——2^82,589,933-1,有24,862,048位)
2017年日本出版了一本畅销书《2017最大的质数》,整本书只有写一个数字“2的74207281次方减1”,光一个质数就印了719页,足有2233万位数,你可以想象一下,这数到底有多么大。更莫名其妙的是,这本书居然卖得极好,就连出版商的吓了一跳。
这么大的天文数字,究竟是花多少时间算出来的?而下一个数字又何时会出现?这可能是我们看到新闻的疑问,但相信人们更好奇的是,人类为何要一直用超强电脑找“最大质数”,就算找到了又有甚么意义,是吃饱太撑吗?难不成每年都要出一本《最大的质数》?
俗话说“数学为科学之母”,人类研究数学的行为本身,起初都没有目的性,纯粹只是为求真理,但这些看似没有用的理论与计算,很有可能在未来成为人类文化的重要科学工具。17世纪牛顿、莱布尼兹发明微积分时,相信也没甚么人觉得有用,但如今积分的数学原理,却奠定了现今工程学的所有基础,路上的桥墩与路面,都是千千万万的数学所构成。
但这些都不足以解释为何人们要不断找“更大的质数”,这些跟我们的生活有相关吗?
事实上是有的,但就现阶段来说,与“数学难题”有比较大的关系。近期学术界最大的新闻,便是在9月24日,英国麦可·阿蒂亚爵士宣称他破解了“黎曼猜想”,这是个数学界159年以来未解的谜题,美国克雷数学研究所在2001年甚至不惜端出100万美元奖金,来给解决这个难题的人。
由于数学的部分实在太难了,简单来说,黎曼是个超级数学天才,他生平前找到了一个跟质数表达形式有密切关系的公式,只是他无法证明这是否正确。
为了解决这个名誉与奖金,无数的数学家投身进入研究,但也都无法证明它,既然无法证明它是对的,那我只要找到反例就行了,于是无数的科学家开始使用电脑与大型计算机,不断算出新的质数来验证“黎曼猜想”,也就是说,这些每年找“最大质数”的閒事,其实是科学发展上非常重要的一环。
2001年IBM甚至开启了科学项目“ZetaGreat”大型计算机,计算了1兆个数字,发现全部都符合黎曼的预测,也就是说,黎曼猜想是对的,但没有人可以证明,只能无限地运算更大的数字来推翻。
四、素数有无限个的证明
素数是无限的还是有限的?两千年前的古希腊数学家欧几里得证明了这个问题,被认为是经典之作。以后又出现十几种证明方法。例如欧拉的证明。他是如何证明的呢?
证明:假设素数没有无限个.设它们为P1.P2.P3.P4.……Pn.设素数集合为S,
不妨再设实数a=P1*P2*P3*P4*……*Pn+1,则a不属于S,因此a为合数,且a不能被任何素数整除。又由于合数a必然能分解出质因子,设其为p,则p必然为素数,且p能整除a。这与a不能被任何素数整除矛盾。所以假设不成立,素数有无限个。
五、相关猜想
哥德巴赫猜想:是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和?
孪生素数猜想:孪生素数就是差为2的素数对,例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数?
黎曼猜想:关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想,由数学家波恩哈德·黎曼(1826~1866)于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题。其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出:黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点(在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值)的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti(“临界线”(critical line))上。t为一实数,而i为虚数的基本单位。
最后的最后,都翻到这么后面了,再奖励你一个知识点!
(狄利克雷定理:对于任意互质的正整数a,b, 有无数个形如an + b的质数。其中n是正整数)
参考文献:
Aran Young, VOA数学,存在最大的素数么?欧几里得告诉你答案
2. 数学中还有多少猜想或定理没有被证明?
创维的数轴猜想:从0开始,数字在垂直两条轴线上的无限延伸,归集了所有代数理论。
此猜想要是能被证明,则数学上的代数问题全部解开(其中就包括哥德巴赫猜想等等,一切数学代数猜想及一切数学代数理论)。
《易经》告诉我们,宇宙原理就是数字原理,数字产生,宇宙才产生,数字无穷大,宇宙无穷大,人类解开了数学原理,也就解开了宇宙原理,至此,科学发展到了高峰。
大道至简,然人类无法知其简。还要很长时间才能攻克。
但实际上,人类科学尚在发展中,所有科学理沦,在茫茫无穷的宇宙中,真算不了什么,估计人类再发展上万年,也不能将科学完善
3. 如何评价张益唐在孪生素数猜想上的研究成果及意义?
最近,《自然》杂志的网站上刊登了一篇文章,在华人数学爱好者和学者之间产生了轰动。该文章的标题是《第一个无穷组素数成对出现的证明》。
“孪生素数猜想”是什么?
这篇文章为何会引起轰动呢?这要从“孪生素数猜想”说起。众所周知,素数是只含有两个因子的自然数(即只能被自身和1整除)。而“孪生素数”是指两个相差为2的素数,例如3和5,17和19等。孪生素数猜想是说,存在无穷对孪生素数。
孪生素数的问题已经有约200年的历史。在1900年的国际数学家大会上,希尔伯特将孪生素数猜想列入了他那著名的23个数学问题。想了解这个问题的奇妙之处,需要大概了解素数的分布规律。2000多年前,古希腊数学家欧几里德最先证明了素数在自然数中有无穷多个。这个证明是数学爱好者都很熟悉的,英国数学家哈代在他的《一个数学家的辨白》中也对这个证明津津乐道(如果有人没有读过的,推荐一读)。
随着数学慢慢发展,人们渐渐意识到素数在自然数的分布具有一定的规律。随着数量级的增大,素数的密度越来越小。例如,100以内有25个素数(25%),而100万以内的素数只有7.85%。尽管素数的分布越来越稀疏,但其稀疏程度却是可以度量的。例如,人们发现素数的倒数和为无穷,这就意味着素数的分布比完全平方数要稠密。在法国数学家勒让德和德国数学家高斯等人的推动下,人们开始猜测素数的分布律接近x/ln(x),即前x个整数中大约有x/ln(x)个素数。这一结果于1896年被两位数学家各自证明,此时距离勒让德的猜想提出已经有98年。
素数的分布律说明,素数在自然数中越来越稀疏,同时素数之间的距离——平均而言——会越来越远。因此,孪生素数猜想也就显得很越发奇妙——如果素数之间的距离真的越来越远,那么出现无穷对距离为2的素数就不是那么显然的事了。这似乎说明素数的分布是相当“随机”的,而不是近似均匀的扩散。可能学概率论的读者会注意到,这一结论与概率论中“随时间推移,一维标准布朗运动的位置平均而言离0点越来越远,但却以概率1无穷次折回0点”有着异曲同工之妙。的确,素数的分布律与随机过程非常相似。然而,更为奇妙的是,素数的位置是完全是确定的,其本质上毫无随机性。
张益唐做了什么工作?
终于可以讲到今天的新闻了。新罕布什尔大学(University of New Hampshire,UNH)任教的张益唐近日声称,其证明了存在无穷多对素数,其差小于7000万。尽管7000万是个很大的数字,但如果结果成立,就是第一次有人正式证明存在无穷多组间距小于定值的素数对。想想我们之前讲的,就会发现,既然素数之间的平均距离越来越远,那么存在无穷多组间距小于定值的素数对,与存在无穷多组间距为2的素数对(孪生素数猜想)是一样神奇的结论。值得一提,如果存在无穷多组间距小于定值的素数,那么,通过取子序列的办法,我们可以得知至少存在一个数字C(小于7000万),使得无穷多组素数之间的间距恰巧为C。无怪乎,美国数学家多利安·戈德菲尔( Dorian Goldfeld)评论说,从7000万到2的距离(指猜想中尚未完成的工作)相比于从无穷到7000万的距离(指张益唐的工作)来说是微不足道的。
如果张益唐的结果为正确的,那无疑是世界数学界的一大进展,其结果影响力甚至可能超过陈景润在哥德巴赫猜想方面所做的工作。
根据我一位朋友介绍,张益唐就读于北大数学78级,是当时最优秀的几个学生之一,因此也算上是我的师兄。网上关于张益唐的信息很少,只能查到他在UNH担任讲师(Lecturer)。这里,稍微讲解一下美国的学术体系。美国学术界的核心是终身教职系统(Tenure-Track),分为助理教授(Assistant Professor), 副教授(Associate Professor)和教授(Professor)三个级别。这些教授职位就是传统意义的学者,既进行教学活动,也进行科研(如果是研究型大学的话,是科研为主)。一旦获得终身教职(通常是在升到副教授时,少部分学校是到正教授时,也有部分是助理教授期间),这些教授就可以做任何自己想做的科研,即使没有经费,科研没有进展,甚至不再科研,学校无正当理由(如渎职、犯罪等)也不能开除他们。因此,终身教职是学术界的核心精神,绝大多数数学家(除了在研究所工作的外)都会进入终身教职系统。
而讲师就差多了,是临时教学职位,收入比起同资历教授(包括助理教授)差很多,教学任务也远远比教授们重。科研上来说,则是完全得不到任何支持。例如我所在的学校,讲师往往由不具有博士学位的教师来担任,教学任务是普通终身教职系统内教员的2-3倍。注意,美国的讲师和英国的讲师是不同的,后者是等价于终身教职系统内职位的。无论如何,张益唐的职位都不是一个数学家理想的职位,可以说他是在讲师的位置上蛰伏了多年。引用香港浸会大学汤老师的说法,“(张益唐老师)从没有正式工作,(人们)以为(他)离开数学界了”。数十年磨一剑,终于发表了惊人的成果。
现代数学的新结果的验证往往需要很长的时间。因为所使用的新技巧,所涉及的专业知识往往都过于高深,以至于全世界只有一两位专家可以看懂。而证明又可能很长,有时竟长达上千页,很多数学家要慢慢挤出时间来看他人的证明。即使发表在顶级数学杂志的结果,也可能时候发现有错。因此,包括我本人在内,许多人也在怀疑张益唐的结果是否正确。在这里,我只简单地将事实列出,留给数学界来评判。
对张益唐的结果不利的事实有:
张益唐来自一所并非以数学闻名的大学,而且是临时职位,且多年以来并无突出建树。在数学界,由无名之辈解决世界难题虽然并非绝无发生,但现代以来已经几乎绝迹。
据张益唐在哈佛的报告的反响来看,他使用的数学技巧不具备革新性,是较为经典的数学技巧。新的突破由经典技巧完成在数学史上是非常罕见的。(这也是为什么只学习了初等数学的民间数学家们往往无法解决数学难题)。
所得出结论过于具有突破性,其他数学家似乎都没有办法做到。
对张益唐的结果有利的事实有:
他将文章投到《数学年刊》(Annals of Mathematics),从新闻来看,已准备接收。审稿人的评价非常积极,认为其证明是对的,并且是一流的数学工作。Annals是世界上最权威的数学杂志,即使考虑平行地位,也远远大于《自然》(Nature)、《科学》(Science)这些杂志。在Annals上发表数学文章极难,往往都是顶尖数学家才能做到。北京大学的教授发表一篇Annals,都要在数学学院的网站上写个新闻报道一番,可见其难度。考虑到张益唐并不是成名的数学家,审稿人想必是在非常详细的审阅之后才得出的结论。
新闻提到,其他看过论文和听过报告的专家,没有人找到明显的错误(尽管有些人仍然存有怀疑),并且认为其证明思路可以看懂。
北大校友传言张益唐在北大读书期间非常突出,而77、78级由于之前的文革影响,最顶尖人才都汇聚在一起,因此如果张老师读书期间非常突出,那么至少说明他的数学潜力是没有问题的(远非所谓民间科学家所能比)。
根据华人数学家陶哲轩的博客,尽管由于他本人没有看到文章,仍无法下断言,但他对该结果的评价比较正面,并且他推测张益唐的工作是在其他几位科学家的基础上进行的合理推广。
根据另一名华人数学家转述,张益唐之前虽然没发表过几篇文章,但其有一篇关于黎曼猜想的文章发表在另一数学界高端杂志《Duke数学杂志》上,并得到审稿人很高的评价。这说明,张益唐是具有研究前沿数学问题的知识储备的。
此外,这里有一个关于张老师前几天在哈佛所做之报告的技术总结,将其基本思路整理了一下,有兴趣的朋友可以自行阅读(英文版):Bounded Gaps Between Primes
4. 张益唐和丘成桐谁厉害?
张益唐厉害他解决了孪生素数的猜想,一时间获誉无数,在国际上拿奖拿到手软!
但张益唐的成名之路却非常坎坷,张益唐从北大毕业之后前往了美国留学,期间由于和导师争论导致了隔阂。
5. 数学家为何会痴迷于研究质数呢?
本题,我一个小屁孩,也断断续续琢磨了几十年了。更不用说数学家痴迷了几千年。以下是我的一些习得与直觉,算是抛砖引玉。
其一,顾名思义:prime=pro(主要)+ime(要素),字面意义:主体性要素。引申为:不可分割的基数。
其二,数学定义:质数是只能被“单位1”与“自身数”整除的数。由定义可知:
质数皆可分解为最小的单位1,而1意味着归一到无法再分的基元。如:2=1+1,3=1+1+1,5=1+1+1+1+1。
质数自身亦可以整体性出现,不可分解为非基元的其它任何数。5≠2+3,11≠2+3+3+3。
其三,粒子意义:就特定的认知层次,质数对应1个完整的系统/体系/物系(system)。例如:1个原子,1个电子,1个质子,1个光子,1个中微子,1个引力子或1个虚粒子,即1个真空涟漪子。
其四,物理哲学:色空亦空,色是形形色色的有形物质,呈椭球状,是费米子。空是隐隐约约的无形物质,呈波带状,是玻色子。
费米子是高能态的玻色子,玻色子是低能态的费米子。最低能态的或基态玻色子,叫基态虚粒子,或基态真空涟漪子,其实就是引力子。
真空涟漪子,可定义其质量是1.26e-39kg,是自然界的最小量子“1”。可以看成物质的最小基元。
中微子与上夸克(u),是较大的真空涟漪簇,有1595819个真空涟漪子,这是一个质数。特此声明:这是高人的,不是我的。
电子与质子与质数不对应,它们相当于不同能态的400个中微子或上夸克。中子也不对应质数,因为中子=质子+电子+中微子。因此,非中微子的费米子,皆对应一个合数。
引力子,就是1个基态虚粒子。光子,是低能态的伸展的电子,与电子一样有400u个真空涟漪子,但不同频率的光子,对应不同能态的真空涟漪簇。
在超低温与超真空的深太空,所有费米子与玻色子,皆完全耗散,化为真空涟漪。这相当于:色变空,四大皆空,万象归零。
在特定的高温高压条件下,大量真空涟漪为簇拥、集聚、折叠、缠绕、卷积,变成不同能态的具有一定稳态的费米子与玻色子。这相当于:空变色,无中生有,无极生太极。
其五,社会哲学:国家是一个整体,对应一个较大的合数。家庭是一个整体,对应一个最小的质数。个人是一个整体,对应一个基元质数,不可再行分割了。
通过对本题的探讨,禁不住想起,毕达哥拉斯为什么说数揭示世界的本质的蕴含。也进一步体会“自然数”的自然意义,而小数部分只不过反映了物理测量的精度,而已。
6. 世界数学难题未解之谜?
1、黎曼猜想这个可以说是数学中最重要的猜想之一,黎曼猜想研究的是素数分布问题,而素数是一切数字的基础,假如人类掌握了素数分布的规律,那么能轻松解决很多知名的数学难题。
2、N-S方程的解
纳维-斯托克斯方程是否有解析解?
该方程描述的是粘性流体流动问题,本身是一个偏微分方程,其解极其复杂,目前只能在一定范围内求数值解,至于解析解,是否存在都不知道!
3、P-NP问题
该问题在数学中极为重要,涉及计算机算法中的最优解的存在性问题。
4、ABC猜想:若d是abc不同素因数的乘积,d通常不会比c小太多?
5、哥德巴赫猜想:即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和?
6、孪生素数猜想:存在无穷多个素数p,使得p + 2是素数?
7、冰雹猜想:任意一个自然数,如果是个奇数,则下一步变成3N+1,如果是个偶数,则下一步变成N/2,最终都能回到1?
8、大数分解问题:对于任意大数,分解为素数乘积的最佳算法?
9、丢番图问题:整数方程的可解性判断?
10、哥德尔不完备性定理的边界:如何判断一个数学难题,是否属于数学哥德尔不完备性问题?
11、无理数问题:无理数和超越数如何判断?
12、梅森素数问题:梅森素数是否有限?
7. 大学最难的数学题?
1.几何尺规作图问题 大四最难的数学题 这里所说的“几何尺规作图问题”是指做图限制只能用直尺、圆规,而这里的直尺是指 没有刻度只能画直线的尺。“几何尺规作图问题”包括以下四个问题 (1)化圆为方——求作一正方形使其面积等於一已知圆; (2)三等分任意角; (3)倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍; (4)做正十七边形。 以上四个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解,而实际上这前三大问题都已证明不 可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。
第四个问题是高斯用代数的方法解决的,他也视此为 生平得意之作,还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上,但後来他的墓碑上并没有刻上十七 边形,而是十七角星,因为负责刻碑的雕刻家认为,正十七边形和圆太像了,大家一定分辨 不出来。
2.蜂窝猜想 四世纪古希腊数学家佩波斯提出,蜂窝的优美形状,是自然界最有效劳动的代表。他猜想, 人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝,是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。他的这一猜想称 为蜂窝猜想,但这一猜想一直没有人能证明。1943 年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首 尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。
1943 年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所 有首尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。但如果多边形的边是曲线时,会发生什 么情况呢?陶斯认为,正六边形与其他任何形状的图形相比,它的周长最小,但他不能证明这一 点。而黑尔在考虑了周边是曲线时,无论是曲线向外突,还是向内凹,都证明了由许多正六边形 组成的图形周长最校他已将 19 页的证明过程放在因特网上,许多专家都已看到了这一证明, 认为黑尔的证明是正确的。
3.孪生素数猜想 1849 年,波林那克提出孪生素生猜想(the conjecture of twin primes),即猜测存在无穷 多对孪生素数。孪生素数即相差 2 的一对素数。例如 3 和 5 ,5 和 7,11 和 13,…,10016957 和 10016959 等等都是孪生素数。1966 年,中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果:存 在无穷多个素数 p,使 p+2 是不超过两个素数之积。孪生素数猜想至今仍未解决,但一般人 都认为是正确的。
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